Una bella somma

Somma

Un giorno alcuni studenti erano fastidiosi, e allora il loro insegnante li costringe a fare la somma di tutti i numeri interi da 1 a 100. Poco dopo si alza dal banco un certo Gauss e consegna il risultato corretto: 5050. Lo studente aveva trovato che per sommare tanti interi, da 1 fino ad un certo valore basta prendere l’ultimo numero, moltiplicarlo per il successivo, e fare metà. Nel caso in esame, 1+2+3+…98+99+100 = 100 x 101 : 2 = 5050.

Ma se dovessimo sommare i primi 100 numeri pari, oppure i primi 100 numeri dispari, come faremo?

Il totale fisso

Alcuni giorni fa ho assistito ad una conferenza di Maurizio Brizzi, insegnante all’Università di Bologna. Pioveva, e sono arrivato in ritardo, avendo dovuto abbandonare il motorino e proseguire a piedi.
La conferenza era già iniziata, e vedo sulla lavagna delle operazioni, relative ad un gioco precedentemente proposto dal relatore.
Ecco i calcoli che leggevo.
916 – 619 = 297 297 + 792 = 1089
382 – 283 = 099 099 + 990 = 1089
274 – 472 = 198 198 + 891 = 1089
Penso di aver capito che il gioco consista nello scrivere un numero di tre cifre, poi il numero che si ottiene scrivendo le cifre al contrario (dall’ultima alla prima) e fare la differenza dei due numeri (il maggiore meno il minore). A questo punto si fa la somma fra il risultato ottenuto e il suo contrario, e si dovrebbe ottenere sempre 1089.
Allora mi chiedo:
a) funziona per tutti i numeri di tre cifre?
b) perché?
c) e con i numeri con un numero di cifre diverso da tre?

Io in realtà il problema l’avevo già letto o sentito da qualche parte (sempre senza la dimostrazione), ma il fatto di non averne sentito la presentazione mi ha fatto sorgere il dubbio se si potesse estendere il problema.

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