Si è ribaltato!

Orologio lancette0001

Avevo pubblicato tempo fa un problema nel quale il mio orologio con le cifre digitali si è ribaltato, e l’ora che si leggeva non corrispondeva alla vera, ma poteva essere plausibile. Ora a ribaltarsi è stato il mio orologio a lancette, e mi sono chiesto: fra tutte le ore possibili nel corso della giornata, ci sono situazioni nelle quali anche girando l’orologio di 180° si ottiene sempre una posizione delle lancette delle ore e dei minuti possibili? Per fare un esempio, l’orologio che segna le 7.25, rovesciato, non offre una ora plausibile, perché all’1.55, la lancetta delle ore è più vicina alle 2.

Il compleanno

Buon Compleanno

Ecco un problema che arriva da Singapore, dalle Olimpiadi della Matematica, e che propongo in quanto mi è sembrato interessante per il ragionamento che porta alla soluzione: assomiglia abbastanza a testi che si possono trovare alle gare della Bocconi.

Albert e Bernard hanno appena conosciuto Cheryl, e vorrebbero sapere la data del suo compleanno.

Cheryl dà loro una lista di 10 possibili date: 15 maggio, 16 maggio, 19 maggio, 17 giugno, 18 giugno, 14 luglio, 16 luglio, 14 agosto, 15 agosto, 17 agosto.

A questo punto Cheryl comunica ad Albert il mese e a Bernard il giorno del suo compleanno.

Albert: “Non so quando sia il compleanno di Cheryl, ma so che non lo può sapere neanche Bernard”.

Bernard: “Infatti non lo sapevo, ma ora, dopo aver sentito te, lo so”.

Albert: “Adesso so anch’io quando è il compleanno”.

Che giorno è il compleanno di Cheryl?

La casetta

La casetta

 

Non so spiegare neppure io come mi viene l’ispirazione a volte per inventare un gioco matematico (o enigmistico), ma spesso ci sono cose curiose da guardare con occhio critico, e di sicuro con la dedizione di un po’ di tempo, il problema viene fuori. Ad esempio, guardando la forma di questa casetta mi è venuta una certa idea…

Vediamo se anche a voi questo disegno ispira qualcosa?

Il triangolo di Tartaglia umano

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Al liceo si studia il triangolo di Tartaglia: è un triangolo con dei numeri scritti nelle varie caselle, in modo che ogni numero presente è dato dalla somma dei due numeri della riga superiore che stanno uno alla sua destra e uno alla sua sinistra. Si comprende meglio da questo disegno, dove 6, ad esempio, deriva dalla somma 3+3.

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

Mi è piaciuta la foto che ho inserito: vi è raffigurata la festa patronale di Barcellona, con una piramide umana. Immaginiamo di volerne fare una simile nella mia città, Trieste, dove all’ultimo censimento la popolazione risultava essere di 202.563 unità. Se nel primo piano in alto c’è una persona, nel secondo una a sinistra e una a destra, nel terzo una a sinistra, due al centro e una a destra, e così via come nel triangolo di Tartaglia, di quanti piani al massimo si potrebbe costruire questa torre a Trieste?

Ammettiamo che i triestini siano forti abbastanza da poter sorreggere le persone che stanno sopra di loro…

Destra o sinistra?

Duemiladodici militari sono allineati, uno di fianco all’altro, e guardano verso il comandante, che sta di fronte a loro. Ad un certo punto viene dato l’ordine “front a destr”, e tutti devono girarsi di 90° a destra. Purtroppo nessuno sa quale sia la destra e quale la sinistra, ma ritengono tutti che gli altri lo sappiano. Quindi si girano da una parte qualunque, e impiegano un secondo per farlo. Se qualcuno di loro però dopo questa mossa vede di faccia un suo compagno, ritiene di aver sbagliato, e dopo un secondo si gira di nuovo. Può darsi che ancora qualche coppia di militari si veda di faccia, ed entrambi nuovamente, pensando di essere nel torto, si girano, dopo un altro secondo. Dopo quanto tempo al massimo staranno tutti fermi?

[expand title=”Come arrivare alla soluzione:“]

Userò per i soldati che guardano a destra o sinistra rispettivamente i simboli “>” o “<“.

Per paura di perdermi con numeri troppo alti e casi che non riesco a seguire, provo ad usare il metodo che porta il nome di un grande matematico nostro contemporaneo.

Ebbene, il metodo Dendi mi consiglia di studiare il caso banale, con 2 soldati. Delle 4 possibili posizioni dopo un secondo, mi sembra utile solo ><, che porta a due secondi il tempo finale.

Analizziamo, come consiglia il metodo Dendi, il caso di tre soldati. Delle 2^3=8 possibili posizioni dopo un secondo, mi interessano solo >>< e ><<, che portano a tre secondi il tempo finale.

Se lo ritengo opportuno, faccio il caso con 4 soldati, tenendo presente che se tre consecutivi non si sistemano come visto sopra, non otterrò la soluzione migliore.

A questo punto posso dire che per n=0, 1, 2, 3… soldati, ci vorranno n secondi al massimo per ottenere la stabilità della posizione.

© Giorgio Dendi – Servizi all’umanità

[/expand]

[expand title=”Un’altra strada:“]

Non è chiaro? Vediamo un’altra strada per arrivare alla soluzione, partendo direttamente con 2012 soldati:

Potrebbe succedere che, per coincidenza, tutti i soldati si girino dallo stesso lato. Ciascuno vede l’altro di spalle (oppure nessuno, se è un soldato all’estremità) e dopo 1 secondo sono tutti fermi:

<<<<<…<<< oppure >>>>…>>>>

Se un soldato di estremità si gira per guardare il vuoto e tutti gli altri soldati sono girati allo stesso modo fra loro, anche in questo caso il movimento si ferma dopo un secondo.

>>>>>…>>>>> oppure <<<<<<…<<<> (soluzioni simmetriche)

Poniamo adesso che ci sia 1 solo soldato girato diversamente da tutti gli altri. Se questo soldato è in posizione n.1, avrà davanti a sé tutti i soldati che lo guardano. Lui a quel punto si girerà, ed essendo in estremità continuerà a fissare il vuoto. Contemporaneamente il soldato n.2 vedendolo si girerà, e si troverà di fronte al soldato n.3, il quale si girerà, e così via finché non saranno tutti girati.

Il gruppo “><” diventa sempre un gruppo “<>” in 1 secondo

><<<<<<….<<<<   1s
<><<<<<….<<<<   2s
<<><<<<….<<<<   3s
….
<<<<<<<….<<<>   2012s

Quindi se il soldato è in posizione 1 e guarda tutti gli altri, in sequenza inizierà un processo di “aggiustamento” e tutti saranno fermi dopo 2012 secondi. Questo è il caso peggiore di tutti: i soldati non possono impiegare più tempo di così.

© Paolo Pizzorni

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