La targa della corriera

Targa corriera

Quando siamo andati alla finale nazione di Giochi Matematici della Bocconi, abbiamo preso la corriera, e ho notato che la targa era 124, cioè le cifre erano disposte secondo una successione geometrica (il secondo numero è il primo moltiplicato per un valore, e il terzo è il secondo moltiplicato per lo stesso valore). Quante altre targhe (cioè numeri di tre cifre) esistono, con le tre cifre in successione geometrica? Ricordo che il fattore moltiplicativo deve essere diverso da 0.

Destra o sinistra?

Duemiladodici militari sono allineati, uno di fianco all’altro, e guardano verso il comandante, che sta di fronte a loro. Ad un certo punto viene dato l’ordine “front a destr”, e tutti devono girarsi di 90° a destra. Purtroppo nessuno sa quale sia la destra e quale la sinistra, ma ritengono tutti che gli altri lo sappiano. Quindi si girano da una parte qualunque, e impiegano un secondo per farlo. Se qualcuno di loro però dopo questa mossa vede di faccia un suo compagno, ritiene di aver sbagliato, e dopo un secondo si gira di nuovo. Può darsi che ancora qualche coppia di militari si veda di faccia, ed entrambi nuovamente, pensando di essere nel torto, si girano, dopo un altro secondo. Dopo quanto tempo al massimo staranno tutti fermi?

[expand title=”Come arrivare alla soluzione:“]

Userò per i soldati che guardano a destra o sinistra rispettivamente i simboli “>” o “<“.

Per paura di perdermi con numeri troppo alti e casi che non riesco a seguire, provo ad usare il metodo che porta il nome di un grande matematico nostro contemporaneo.

Ebbene, il metodo Dendi mi consiglia di studiare il caso banale, con 2 soldati. Delle 4 possibili posizioni dopo un secondo, mi sembra utile solo ><, che porta a due secondi il tempo finale.

Analizziamo, come consiglia il metodo Dendi, il caso di tre soldati. Delle 2^3=8 possibili posizioni dopo un secondo, mi interessano solo >>< e ><<, che portano a tre secondi il tempo finale.

Se lo ritengo opportuno, faccio il caso con 4 soldati, tenendo presente che se tre consecutivi non si sistemano come visto sopra, non otterrò la soluzione migliore.

A questo punto posso dire che per n=0, 1, 2, 3… soldati, ci vorranno n secondi al massimo per ottenere la stabilità della posizione.

© Giorgio Dendi – Servizi all’umanità

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[expand title=”Un’altra strada:“]

Non è chiaro? Vediamo un’altra strada per arrivare alla soluzione, partendo direttamente con 2012 soldati:

Potrebbe succedere che, per coincidenza, tutti i soldati si girino dallo stesso lato. Ciascuno vede l’altro di spalle (oppure nessuno, se è un soldato all’estremità) e dopo 1 secondo sono tutti fermi:

<<<<<…<<< oppure >>>>…>>>>

Se un soldato di estremità si gira per guardare il vuoto e tutti gli altri soldati sono girati allo stesso modo fra loro, anche in questo caso il movimento si ferma dopo un secondo.

>>>>>…>>>>> oppure <<<<<<…<<<> (soluzioni simmetriche)

Poniamo adesso che ci sia 1 solo soldato girato diversamente da tutti gli altri. Se questo soldato è in posizione n.1, avrà davanti a sé tutti i soldati che lo guardano. Lui a quel punto si girerà, ed essendo in estremità continuerà a fissare il vuoto. Contemporaneamente il soldato n.2 vedendolo si girerà, e si troverà di fronte al soldato n.3, il quale si girerà, e così via finché non saranno tutti girati.

Il gruppo “><” diventa sempre un gruppo “<>” in 1 secondo

><<<<<<….<<<<   1s
<><<<<<….<<<<   2s
<<><<<<….<<<<   3s
….
<<<<<<<….<<<>   2012s

Quindi se il soldato è in posizione 1 e guarda tutti gli altri, in sequenza inizierà un processo di “aggiustamento” e tutti saranno fermi dopo 2012 secondi. Questo è il caso peggiore di tutti: i soldati non possono impiegare più tempo di così.

© Paolo Pizzorni

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