Quanto vale questo numero?

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...

Il denominatore di ogni nuovo addendo raddoppia, fino all’infinito.

[expand title=”La strada verso la soluzione:“]

In matematica, quando non sappiamo quanto vale una certa entità incognita, è utile chiamarla con un nome, per esempio x.

x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...

Cosa succede adesso moltiplicando ambo i membri per un fattore comune, diciamo, per 2?

2x=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...

Da cui si nota che

2x=2+x

Equazione di primo grado a un’incognita, da cui si ricava

x=2

[/expand]

.

3 pensieri su “Quanto vale questo numero?

  1. Non capisco che cosa sia l’infinito!
    Ho un problema con l’infinito: come mai ha funzionato la soluzione?
    Facciamo un esempio molto più semplice della somma calcolata: 1+1+1+1+…
    Diciamo che faccia S. Con lo stesso ragionamento fatto per risolvere l’esercizio, trovo che, quando aggiungo 1 a S, risulta ancora S. Perciò S=1+S.
    Che numero ho trovato? Sono certo che ci sia un _unico_ numero di tal fatta con quella proprietà (che poi è la condizione di esistenza e unicità per equazioni di primo grado, ma forse mi sbaglio visto che uso equazioni insolite)?

    • @Pino
      Secondo la tua soluzione si arriva a:
      S=1+S
      cioè
      S-S=1+S-S
      0=1
      Poichè questo risultato non è accettabile risulta che non esiste una soluzione per S nei reali; infatti il tuo numero S è “infinito”, non puoi trattarlo nelle equazioni come un qualsiasi numero reale, mentre il numero x del testo risulta essere un reale e la soluzione è accettabile (x è la somma di infiniti termini, ma non è “infinito”).

      • Sono perfettamente consapevole di tutta l’analisi reale che si puo’ sviluppare coerentemente a partire dai quindici assiomi di campo ordinato completo.
        Quello che discutevo era quanto possa essere appropriato fare considerazioni “alla mano” sull’infinito. Non ho purtroppo ricevuto risposta a nessuna delle domande che ponevo.
        A proposito, Zulzo, che differenza c’e’ tra l’infinito in “somma di infiniti termini” e l’infinito in “”infinito””?
        Anche se S non e’ reale, e’ stato comunque determinato. E’ forse meglio fare una teoria delle equazioni che prescinde dai numeri reali?

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