Quanti zer000?

ZeroAlcuni anni fa ad una gara coordinata dalla Bocconi è stato presentato un problema al quale molti concorrenti hanno dato una risposta errata. Si poteva risolvere in gruppo, nella propria scuola, e siccome non potevano esser effettuati dei controlli, ognuno era libero di utilizzare computer e altri strumenti.
Il testo era questo: con quanti zeri termina il prodotto di tutti gli interi fra 50 e 100, cioè 50x51x52x … x98x99x100 ?
Ebbene, tante squadre hanno risposto 81 zeri, e un insegnante ha trovato anche su internet questa risposta, che però è errata.
Qual è la risposta esatta, e come mai, secondo voi, tanti hanno risposto 81, che è “abbastanza” errato?

Intanto vediamo la risposta corretta, che è 14.
Perchè un numero finisca per 0 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 10), occorre che fra i suoi fattori primi ci sia (almeno) un 2 e (almeno) un 5.
Perchè un numero finisca per 00 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 100), occorre che fra i suoi fattori primi ci siano (almeno) due 2 e (almeno) due 5.
Perchè un numero finisca per 000 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 1000), occorre che fra i suoi fattori primi ci siano (almeno) tre 2 e (almeno) tre 5.
Ecc ecc…
E siccome i 2 (che appaiono uno ogni due numeri) sono più frequenti dei 5 (che appaiono uno ogni cinque numeri), basterà contare quanti 5 ci sono (come fattori primi, ovviamente) fra 50 e 100 compresi.
Allora conto con le dita: i numeri che hanno un fattore primo 5 sono quelli che terminano con 0 o con 5: 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100: in tutto 11.
Debbo tener conto che i numeri 50, 75 e 100, che sono 3 in tutto, portano addirittura due fattori 5 (infatti, ad esempio, 50 = 2 x 5 x 5), quindi i fattori 5 sono in tutto 11+3 = 14.
Siccome ci sono tanti di più di 14 fattori 2, ecco che in fondo al numero ci sono 14 zeri, ottenuti accoppiando a due a due un 2 e un 5, ed usando proprietà associative e commutative a tutto spiano.

5 commenti su “Quanti zer000?”

  1. Intanto vediamo la risposta corretta, che è 14.
    Perchè un numero finisca per 0 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 10), occorre che fra i suoi fattori primi ci sia (almeno) un 2 e (almeno) un 5.
    Perchè un numero finisca per 00 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 100), occorre che fra i suoi fattori primi ci siano (almeno) due 2 e (almeno) due 5.
    Perchè un numero finisca per 000 (frase che equivale a chiedere che sia divisibile per 1000), occorre che fra i suoi fattori primi ci siano (almeno) tre 2 e (almeno) tre 5.
    Ecc ecc…
    E siccome i 2 (che appaiono uno ogni due numeri) sono più frequenti dei 5 (che appaiono uno ogni cinque numeri), basterà contare quanti 5 ci sono (come fattori primi, ovviamente) fra 50 e 100 compresi.
    Allora conto con le dita: i numeri che hanno un fattore primo 5 sono quelli che terminano con 0 o con 5: 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100: in tutto 11.
    Debbo tener conto che i numeri 50, 75 e 100, che sono 3 in tutto, portano addirittura due fattori 5 (infatti, ad esempio, 50 = 2 x 5 x 5), quindi i fattori 5 sono in tutto 11+3 = 14.
    Siccome ci sono tanti di più di 14 fattori 2, ecco che in fondo al numero ci sono 14 zeri, ottenuti accoppiando a due a due un 2 e un 5, ed usando proprietà associative e commutative a tutto spiano.

  2. credo che chi ha risposto 81 abbia pensato (come me) che la domanda si riferisse al numero di cifre da cui è composto il numero risultato del prodotto dei numeri da 50 a 100(estremi compresi). volevo solamente segnalare che 81 sarebbe comunque sbagliato; il numero infatti ha 95 cifre! se sbaglio correggimi..

  3. Per trovare gli zeri finali nel prodotto 100!:49! bisogna contare quanti fattori “5” sono contenuti
    nella scomposizione in fattori primi (5×2=10 e i fattori “2” sono più abbondanti). Ne abbiamo 14:
    • 2 nel 50 (5x5x2);
    • 1 nel 55 (5×11);
    • 1 nel 60 (5x2x2x3);
    • 1 nel 65 (5×13);
    • 1 nel 70 (5x2x7);
    • 2 nel 75 (5x5x3);
    • 1 nel 80 (5x2x2x2x2);
    • 1 nel 85 (5×17);
    • 1 nel 90 (5x2x3x3);
    • 1 nel 95 (5×19);
    • 2 nel 100 (5x5x2x2).
    Dunque il prodotto termina con 14 zeri.

  4. Mi ha fatto tanto pensare invece il fatto che tante scuole avevano proposto la risposta 81. Non capivo, fino a quando non ho pensato che forse avevano fatto i calcoli con il computer. Allora ho preso un foglio excel, ho scritto nella prima casella 50, ho tirato giù il cursore fino a 100, e nella colonna vicina ho fatto fare il prodotto progressivo. Sorpresa delle sorprese: ogni tanto il computer perdeva qualche cifra poco significativa, e alla fine il risultato era 153425937812748000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000: sì, come ordine di grandezza c’eravamo, ma le ultime cifre significative erano diventate tutti zeri, per un totale di 81 zeri.
    Vediamo se con un copia incolla riesco a dare i risultati.

    50 50
    51 2550
    52 132600
    53 7027800
    54 379501200
    55 20872566000
    56 1168863696000
    57 66625230672000
    58 3864263378976000
    59 227991539359584000
    60 13679492361575000000
    61 834449034056077000000
    62 51735840111476800000000
    63 3259357927023040000000000
    64 208598907329474000000000000
    65 13558928976415800000000000000
    66 894889312443445000000000000000
    67 59957583933710800000000000000000
    68 4077115707492340000000000000000000
    69 281320983816971000000000000000000000
    70 19692468867188000000000000000000000000
    71 1398165289570350000000000000000000000000
    72 100667900849065000000000000000000000000000
    73 7348756761981750000000000000000000000000000
    74 543808000386649000000000000000000000000000000
    75 40785600028998700000000000000000000000000000000
    76 3099705602203900000000000000000000000000000000000
    77 238677331369700000000000000000000000000000000000000
    78 18616831846836600000000000000000000000000000000000000
    79 1470729715900090000000000000000000000000000000000000000
    80 117658377272007000000000000000000000000000000000000000000
    81 9530328559032600000000000000000000000000000000000000000000
    82 781486941840674000000000000000000000000000000000000000000000
    83 64863416172775900000000000000000000000000000000000000000000000
    84 5448526958513180000000000000000000000000000000000000000000000000
    85 463124791473620000000000000000000000000000000000000000000000000000
    86 39828732066731300000000000000000000000000000000000000000000000000000
    87 3465099689805620000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    88 304928772702895000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    89 27138660770557700000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    90 2442479469350190000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    91 222265631710867000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    92 20448438117399800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    93 1901704744918180000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    94 178760246022309000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    95 16982223372119300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    96 1630293443723460000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    97 158138464041175000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    98 15497569476035200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    99 1534259378127480000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
    100 153425937812748000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

    Piccola morale: meglio fare a mano che con il computer….

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