Quanti scacchi?

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Prendiamo una scacchiera standard, di dimensione 8×8.
Quante regine si possono disporre al massimo, in modo che nessuna di esse ne minacci un’altra?
Quanti re si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
Quante torri si possono disporre al massimo, in modo che nessuna di esse ne minacci un’altra?
Quanti cavalli si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
Quanti alfieri si possono disporre al massimo, in modo che nessuno di essi ne minacci un altro?
La prima domanda è un problema classico, che forse qualcuno può aver già sentito; le altre le ho aggiunte io, ma forse non sono originali. Ma una volta risolti questi problemi, ci si può porre altre domande ancora… quali?

5 pensieri su “Quanti scacchi?

  1. Quando si sono risolti tutti questi problemi, ecco la domanda successiva:
    Una volta scoperto che ci possono essere al massimo tot alfieri su una scacchiera, con le caratteristiche richieste sopra, quanti modi ci sono per disporre i tot alfieri sulla scacchiera? Uguale domanda anche peer regine, re, torri, cavalli.

  2. Risposta alla domanda sulle Regine.
    Ci sono in tutto 92 disposizioni che risolvono il problema. Il grande matematico Gauss riuscì a trovarne 72. Più recentemente, S. Gunter escogitò un modo per trovarle tutte usando i determinanti (quindi anche in problemi di matematica ricreativa torna utile la matematica scolastica). Le 92 soluzioni sono in pratica 12 schemi diversi, che vanno moltiplicati per 8, in quanto ciascuna di esse ne origina 4 ruotando la scacchiera di 90°, e altre 4 immaginando di ribaltare la scacchiera lungo un lato. Quindi le soluzioni sembrerebbero essere 12×8=96, ma 4 vanno tolte, in quanto origina solo 4 soluzioni, anziché 8.

    xxxxxoxx
    xoxxxxxx
    xxxxxxox
    oxxxxxxx
    xxxoxxxx
    xxxxxxxo
    xxxxoxxx
    xxoxxxxx

    xxxxxoxx
    xxxoxxxx
    xxxxxxox
    oxxxxxxx
    xxxxxxxo
    xoxxxxxx
    xxxxoxxx
    xxoxxxxx

    Ecco, il primo schema proposto permette 8 soluzioni diverse, mentre il secondo ne permette 4 soltanto.

    • Bravissimo, risposte esatte.

      Adesso basta dire in quanti modi si possono disporre i 14 Alfieri (mi pare abbastanza semplice), e in quanti modi si possono disporre i 16 Re (e non mi pare semplice).

      • I 14 Alfieri devono stare sul bordo, per minimizzare il numero di caselle cancellate. Allora possono essere disposti 8-6 o 7-7; considerando le rotazioni, risultano 8 disposizioni.

        Finché penso, sempre che ci riesca, alla questione reale, rilancio con un’altra richiesta a tema (classica e facile): qual è il numero minimo di unità per ogni singola pedina in grado di offrire protezione all’intera scacchiera?

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