Quanti cilindri?

41 Cilindri

Alla manifestazione Mate Fitness di Genova, con la quale ho collaborato per alcuni anni, veniva presentato questo problema: abbiamo una scatola di base rettangolare, nella quale stanno, perfettamente sistemati, 40 cilindri, stipati in 5 file da 8. Sembra che non ci siano spazi vuoti per un eventuale quarantunesimo cilindro. Ma se risistemiamo i cilindri, si riesce a sistemarli, tutti e 41. Quindi il nuovo numero di cilindri è 41/40 del numero precedente, cioè il 2,5% in più. Ma se avessimo un piano infinito di cilindri prima sistemati nella prima maniera, e poi sistemati nella seconda, quanto sarebbe l’aumento del numero di cilindri, in percentuale?

4 commenti su “Quanti cilindri?”

  1. Ricordo un bel problema, simile come struttura, nei Wutki Online del… 1999 o 2000, organizzati dal buon Ennio Peres.

    Potete produrre ciambelle con diametro della pasta di 5 cm e un buco grande a piacere, anche 0.

    Quale volume si può riempire di un tubo portaciambelle di diametro 20 cm e alto 40 cm?

    Le due soluzioni sono quelle con 8 ciambelle, ben allineate in 4 strati, oppure con 7 ciambelle, 4 attorno e 3 incastrate in maniera opportuna.
    Sorprendentemente vince la soluzione con una ciambella in meno!

    Ho un legame affettivo con questo problema perché la soluzione ufficiale era quella sbagliata, ed era stata una grande soddisfazione per il giovane me, averne trovata una migliore :-)

    1. (il contenitore è un cilindro retto di diametro 20 cm e altezza 20 cm. 40 era un typo, perché mi dimentico sempre di rileggere i miei commenti…)

  2. La tentazione di rispondere che i due numeri sono uguali, infiniti tutti e due, è troppo forte. Però non penso sia questa la risposta che Giorgio si aspetta. E allora supponiamo di avere una superficie piana arbitrariamente grande e tale che i bordini bianchi al contorno siano trascurabile cosa.

    Userò una terminologia bidimensionale: dischi e piastrelle per coprire il piano e non cilindri… Suppongo, poi, che il disco abbia raggio uno.

    Nel primo caso. Nel dobbiamo piastrellare il piano con piastrelle quadrate di lato 2, piastrelle bianche con al centro un cerchio azzurro di raggio 1. Quindi per piastrellare un’area A avremo bisogno di un numero Nq=A/4 di piastrelle quadrate.

    Nel secondo caso dobbiamo piastrellare la superficie A con piastrelle esagonali di lato 2√(3)/3 con al centro il solito cerchio di raggio 1. L’area di una piastrella, se non ho sbagliato i conti, è 2√(3). Quindi per piastrellare un’area A avremo bisogno di Ne=A/(2√(3)) piastrelle esagonali.

    Giorgio chiede quante piastrelle in più di forma esagonale sistemo nel piano, rispetto a quelle quadrate. Poiché l’area è molto grande (infinita), posso dimenticarmi, come ho detto, di eventuali problemi al contorno e considerare il rapporto tra i due numeri Ne/Nq che è, semplificando un poco le frazioni, 4/(2√(3))=2/√(3)=2√(3)/3=1,154700538…

    Questo naturalmente salvi errori di calcolo probabilissimi (ho impiegato un’ora, una volta, per rendermi conto che 8×8 non faceva 16, ma 64).

    1. Sicuramente un errore di battitura lo ho fatto…

      “Nel primo caso. Nel dobbiamo…” deve essere letto “Nel primo caso dobbiamo…”

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