La frutta

Presento un testo che si può risolvere… quasi a mente, da elementari, ma che mi incuriosisce per una particolarità che non dico. E sarà questo il problema per noi: qual è questa particolarità?

Intanto dico che il testo è preso dalle gare del Kangourou del 2004; l’ho lasciato inalterato.

Tre mele e due arance pesano complessivamente 255 grammi; due mele e tre arance pesano complessivamente 285 grammi. Le mele sono uguali fra loro e così pure le arance sono uguali fra loro. Quanto pesano complessivamente una mela e un’arancia?

4 pensieri su “La frutta

  1. Come ho già anticipato a Giorgio a voce, questo problema si risolve con un sistema di 1° grado a due equazioni e due incognite, che ammette una sola soluzione, determinabile facilmente con uno dei metodi standard.
    Dunque è un problema che catalogherei nella categoria: “esercizi”, come gli esercizi assegnati agli studenti del primo anno delle scuole secondarie superiori.
    La particolarità è che però si può rispondere alla domanda finale anche senza ricavare i valori delle due incognite. Con un semplice artificio, che si può fare anche a mente, sommando fra di loro i termini delle due equazioni, si riesce a calcolare direttamente il valore della risposta (peso mela + peso arancia) senza sapere il peso rispettivo della mela e dell’arancia.
    Come mai il gioco è stato preparato dall’autore in modo da avere questa proprietà?
    Non lo so. Non credo che sia stato un caso.
    Ipotizzo che forse il gioco era diretto a solutori molto giovani, che presumibilmente non conoscono le equazioni. E dunque si voleva vedere se qualcuno dei solutori, pur non conoscendo le equazioni, riusciva a risolvere egualmente il problema grazie all’intuizione.
    Può darsi che i partecipanti alle gare Kangourou (che non conosco) fossero studenti di seconda o terza media.
    Naturalmente per un solutore molto giovane, che non conosce le equazioni, risulta molto difficile, a mio avviso, risolvere il problema grazie all’intuizione.
    Ma non si sa mai, qualcuno ci potrebbe riuscire.
    A quel punto il problema non è più un semplice esercizio, ma un impegnativo test di intuizione, che io catalogherei come “pensiero laterale” (secondo la definizione di DeBono, che ha avuto una certa diffusione).

  2. Problema semplice, che può essere riscritto come “esercizio” in questo modo:
    se mela=x e arancia=y scrivo un sistema di 2 equazioni con 2 incognite (so già che esiste un’unica soluzione):
    3x+2y=255
    2x+3y=285
    Quanto fa x+y?

    La domanda è un leggero trabocchetto. Non si chiede di determinare il peso di una mela e di un’arancia, ma di dare la somma dei due pesi. Il metodo più semplice secondo me è sommare le due equazioni membro a membro, ottenendo
    5x+5y=255+285
    5(x+y)=540
    x+y=540/5=108 grammi

    Quanto pesano una mela o un’arancia prese singolarmente non mi interessa…

    • Come osservato da Giuliano, un liceale riconosce un sistema di primo grado a due incognite, e quindi cerca di scrivere le due equazioni. Ci sono poi (se ricordo bene) quattro metodi per trovare le soluzioni: confronto, somma, sostituzione e Kramer.
      L’ultimo metodo mi sembra un po’ antipatico alla maggior parte degli studenti, e quindi di solito si cerca di capire se uno degli altri procedimenti possa essere più pratico degli altri. Effettivamente la somma mi porta ad avere subito 5x+5y, e siccome mi veniva chiesto di calcolare x+y, posso in breve ottenere la risposta voluta.
      Gli studenti delle elementari e medie, per i quali è stato preparato quel problema, non conoscono le equazioni, quindi devono arrangiarsi. Ho notato che quasi tutti sempre calcolano x e y separatamente, con tanti calcoli, e alla fine fanno x+y per poter scrivere la risposta. Cioè partono già con l’idea che per poter rispondere all’insegnante quanto fa x+y, bisogna per forza conoscere x e conoscere y. Invece nella soluzione veloce faccio (255+285):5, e riesco a risolvere senza conoscere x e y.
      Qualcuno in seconda e terza media, però riesce a dare anche la risposta veloce, qui descritta.
      Allora mi chiedo (e finora non so dare una risposta) se c’è qualche momento particolare nel quale i giovani acquisiscono una qualche nozione scolastica che permette poi a loro di fare questo passaggio.
      Ho scelto questo testo semplice, ma ci sono anche problemi destinati a liceali che si potrebbero risolvere in più modi, e solo una delle vie fa saltare molti passaggi.

  3. La questione sollevata da Giorgio (mi riferisco alla seguente: “quando, come e perché alcuni ragazzi riescono a risolvere il problema senza svolgere fino in fondo le equazioni, o senza nemmeno conoscere le equazioni?”) rimanda a varie riflessioni.
    Ovviamente non ho una risposta precisa, ma posso fare alcune considerazioni.
    Innanzitutto posso facilmente prevedere che, se i ragazzi sanno risolvere le equazioni, è quasi certo che le risolveranno fino in fondo, e non si accorgeranno che potrebbero ad un certo punto interrompere la procedura e deviarla verso una facile ed immediata soluzione.
    Perché? Perché una volta che si è intrapresa una strategia, e la si sta seguendo senza intoppi, non si sente assolutamente la necessità di cambiarla. Questo accade anche nell’ambito di “moduli di ragionamento”. Se non erro in psicologia del pensiero questo fenomeno viene chiamato “incapsulamento”. E’ un fenomeno analogo a quello che accade nel software. Se un programma “chiama” una subroutine, il processo non esce dalla subroutine finché la subroutine non ha finito il suo còmpito. Ovviamente il “funzionamento della mente” non è uguale a quello di un generico software, e, infatti, un solutore umano può benissimo accorgersi di avere già sottomano la soluzione (x + y) senza essere costretto a calcolare separatamente x e y. Tuttavia, per le ragioni appena esposte, questo accade molto di raro, e ancora più di raro fra gli studenti liceali, che di norma vivono il rapporto con la matematica in modo molto meccanico.
    Dunque, tornando alla domanda di Giorgio, in quali circostanze il solutore è indotto a ragionare in modo più economico, evitando di calcolare inutilmente x e y? Secondo me, ciò accade soprattutto quando, semplicemente, il solutore non conosce il concetto di equazione. Non c’è a mio avviso un preciso limite di età. E’ la necessità, in questo caso, ad “aguzzare l’ingegno” … sempre ammesso che il solutore abbia un po’ di ingegno. Purtroppo credo che la stragrande maggioranza dei ragazzi di 2° e 3° media non sarebbero in grado di risolvere il problema, pur disponendo ampiamente delle conoscenze matematiche sufficienti a risolverlo. Tuttavia ritengo più probabile che la soluzione “economica” venga trovato da una persona che non conosce le equazioni piuttosto che da una persona che le applica solo in contesti “scolastici” (escludo i matematici veri e propri, ovviamente).
    Giorgio si chiede anche: ci sono delle precise nozioni che favoriscono la scoperta della soluzione economica, rispetto allo svolgimento della procedura completa di risoluzione delle equazioni? Secondo me, sì. Spiego meglio. Per poter svolgere il procedimento semplice bastano le nozioni di somma e di divisione, non serve altro. Dunque il problema potrebbe essere anche risolto alle scuole elementari. Se due cipolle e una tazza pesano A, e due tazze e una cipolla pesano B, quanto pesano una tazza e una cipolla? Si intuisce sùbito che tre cipolle e tre tazze pesano (A + B), e dunque una tazza e una cipolla pesano (A + B)/3. Non credo di dire un’eresia sostenendo che almeno un bambino (o bambina!) su 100 di 4° elementare sarebbe in grado di risolvere il problema.
    Ma allora cos’è che favorisce la scoperta della soluzione economica? Secondo me una cosa c’è, ed è il concetto di proporzione. Concetto che, se non erro, viene introdotto in seconda media, assieme ad altri concetti (proprietà delle proporzioni, problemi del tre semplice, ecc.) che assomigliano abbastanza al ragionamento necessario per risolvere il problema in modo economico.
    Riepilogando:
    – per risolvere il problema in modo semplice basta conoscere la somma e la divisione;
    – di norma però chi conosce solo la somma e la divisione non riesce a risolvere il problema;
    – chi conosce le equazioni, molto probabilmente userà quelle;
    – chi non conosce le equazioni sarà più stimolato a trovare altre strade;
    – chi conosce le proporzioni sarà favorito nel ragionamento.
    Seguiranno altre considerazioni …

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