La torta

Nel frigo della famiglia Golosi c’è una bella torta. Di notte papà, mamma e Pierino si alzano, e ognuno mangia un terzo di quello che c’è in frigo, e precisamente: papà mangia un terzo di tutta la torta, poi mamma un terzo di quello che è rimasto, poi Pierino un terzo di quello che è rimasto, poi di nuovo papà, e così via a rotazione per tutta la notte, per moltissime volte. Alla fine che parte di torta ha mangiato ciascuno dei tre?

[expand title=”Soluzione complicata:“]
Nella notte papà (D) scende e apre il frigo. La torta è intera. Mangia 1/3 e lascia 2/3. Arriva la mamma (M): mangia 1/3 di 2/3 ovvero 2/9 e lascia 2/3 – 2/9 = 4/9. Arriva Pierino (P): mangia 1/3 di 4/9, ovvero 4/27 e lascia 4/9 – 4/27 = 8/27. Si conclude così il 1° ciclo di mangiate di torta.

Nel secondo ciclo, analogamente, (D) mangia 8/81, (M) mangia 16/243 e (P) mangia 32/729. Si nota come la somma delle fette mangiate da papà mamma e pierino si può esprimere aiutandoci con le potenze del 2 e del 3:

D=\frac{1}{3}+\frac{2^3}{3^4}+\frac{2^6}{3^7}+... sono le fette mangiate da papà.

M=\frac{2}{3^2}+\frac{2^4}{3^5}+\frac{2^7}{3^8}+...sono le fette mangiate da mamma.

P=\frac{2^2}{3^3}+\frac{2^5}{3^6}+\frac{2^8}{3^9}+...sono le fette mangiate da Pierino.

Possiamo esprimere le tre serie come:

D=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{2^{3i}}{3^{3i+1}}\; \; \; \; \;\; M=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{2^{3i+1}}{3^{3i+2}}\; \; \; \;\;\; P=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{2^{3i+2}}{3^{3i+3}}

Tutte e tre queste serie convergono e si possono risolvere utilizzando dei formulari o con Wolfram Alpha. Le tre convergenze sono:

D=\frac{9}{19}\; \; \; \; \; \; \; M=\frac{6}{19}\; \; \; \; \; \; \;P=\frac{4}{19}

Alla fine della serata, papà ha mangiato 9/19 della torta, mamma 6/19 e Pierino 4/19.[/expand]

 

[expand title=”Soluzione più elegante:“]

Volendo risolvere questo problema invece con le sole competenze matematiche imparate alla scuola media, come fare? Ci ho pensato ancora e ho notato che, per la proprietà distributiva, possiamo “estrarre” un 2/3 dalle serie di mamma e Pierino:

M=\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{3}+\frac{2^3}{3^4}+\frac{2^6}{3^7}+... \right ) =\frac{2}{3}D

P=\frac{2}{3}\left ( \frac{2}{3^2}+\frac{2^4}{3^5}+\frac{2^7}{3^8}+... \right ) =\frac{2}{3}M

Dentro la serie di mamma è “nascosta” la serie di papà. Analogamente, dentro alla serie di Pierino è “nascosta” la serie di mamma. Alla fine della notte, la famiglia Golosi avrà mangiato tutta la torta, quindi:

D+M+P=1

A questo punto si può risolvere il sistema di 3 equazioni e 3 incognite, di cui sicuramente esiste una sola soluzione:

\left\{\begin{matrix} 3M=2D\\ 3P=2M\\ D+M+P=1\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} D=\frac{9}{19}\\ M=\frac{6}{19}\\ P=\frac{4}{19} \end{matrix}\right.

© Paolo Pizzorni[/expand]

 

[expand title=”Soluzione elegantissima:“]

Dividiamo la torta in 27 parti. La disegno così, in maniera un po’ particolare:

Papà ne mangia un terzo, cioè le 9 fette rosse, e restano 18; Mamma ne mangia un terzo, cioè le 6 fette verdi, e restano 12; Pierino ne mangia un terzo, cioè 4 fette gialle, e restano 8.

Sono state mangiate 19 parti; di queste 19, Papà ne ha mangiate 9, Mamma 6, Pierino 4, cioè rispettivamente 9/19, 6/19, 4/19.

Di quello che rimane, possiamo nuovamente immaginare di dividerlo in 27 parti, e rifacciamo lo stesso ragionamento.

In pratica, ad ogni turno, di quello che viene mangiato, i tre protagonisti mangiano rispettivamente 9/19, 6/19, 4/19. E siccome viene mangiata tutta la torta, ala fine mangiano 9/19, 6/19, 4/19 di tutta la torta.

© Giorgio Dendi [/expand]

 

[expand title=”Conclusioni“]

Si può arrivare alla soluzione corretta seguendo 3 strade diverse, semplici o complicate. Quale soluzione avete trovato voi?

[/expand]

.

 

2 pensieri su “La torta

  1. Grazie Giorgio, per il primo bellissimo gioco pubblicato su FestaMentis! Ci ho pensato, e – come sempre – ho trovato in principio una soluzione inutilmente laboriosa e alla fine una soluzione più elegante. Fra qualche giorno la soluzione pubblicata!

  2. Io ne ho trovato un’altra!
    Ho pensato a che cosa accade ad ogni turno:
    * mamma mangia ogni volta due terzi di quello che ha mangiato papà
    * Pierino mangia due terzi di quello che ha mangiato mamma, cioè quattro noni di quello che ha mangiato papà.
    Visto che non so che cosa sia l’infinito, mi immagino soltanto che continueranno finche’ mangeranno tutta la torta continuando a mantenere le stesse proporzioni.
    Se P è la (pro)porzione di torta mangiata da papà, deve essere P+2P/3+4P/9=1, cioè P=9/19. Le altre sono 6/19 per mamma e 4/19 per PIerino.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *