Il totale fisso

Alcuni giorni fa ho assistito ad una conferenza di Maurizio Brizzi, insegnante all’Università di Bologna. Pioveva, e sono arrivato in ritardo, avendo dovuto abbandonare il motorino e proseguire a piedi.
La conferenza era già iniziata, e vedo sulla lavagna delle operazioni, relative ad un gioco precedentemente proposto dal relatore.
Ecco i calcoli che leggevo.
916 – 619 = 297 297 + 792 = 1089
382 – 283 = 099 099 + 990 = 1089
274 – 472 = 198 198 + 891 = 1089
Penso di aver capito che il gioco consista nello scrivere un numero di tre cifre, poi il numero che si ottiene scrivendo le cifre al contrario (dall’ultima alla prima) e fare la differenza dei due numeri (il maggiore meno il minore). A questo punto si fa la somma fra il risultato ottenuto e il suo contrario, e si dovrebbe ottenere sempre 1089.
Allora mi chiedo:
a) funziona per tutti i numeri di tre cifre?
b) perché?
c) e con i numeri con un numero di cifre diverso da tre?

Io in realtà il problema l’avevo già letto o sentito da qualche parte (sempre senza la dimostrazione), ma il fatto di non averne sentito la presentazione mi ha fatto sorgere il dubbio se si potesse estendere il problema.

Diverse soluzioni e considerazioni:

Ho letto i vostri commenti, e propongo la mia soluzione, come l’avevo preparata al momento di inserire il problema.

 

Soluzione di Giorgio Dendi:

Prendo un numero di tre cifre abc (ammettiamo che a sia maggiore di c), e facciamo abc-cba.

Siccome a è maggiore di c, nella colonna delle unità devo prendere una decina a prestito, così ottengo (10+c-a); nella casella delle decine ho da fare il calcolo b-b-1 (avendo preso una decina per la colonna delle unità) ed ottengo –1, e allora devo prendere un centinaio a prestito, ed ottengo 10-1=9;

nella casella delle centinaia ottengo a-c-1 (avendo preso un centinaio per la colonna delle decine).

Ho allora il numero (a-c-1)(9)(10+c-a). Se lo sommo al suo rovescio, ottengo (a-c-1+10+c-a)(9+9)(a-c-1+10+c-a)=(9)(18)(9)=1089. Spero si capisca il mio modo di indicare le cifre separatamente, parentesi per parentesi.

Quindi funziona sempre, a patto che a sia diverso da c: in tal caso la differenza subito ci dà 000, che somma al suo rovescio dà 000. Ma vediamo come si può ottenere anche in questo caso 1089. Faremo un errore, cioè non ci accorgeremo che a=c. In tal caso calcoliamo abc-cba. Nella casella delle unità prendiamo una decina a prestito, ed abbiamo 10+c-a=10; nella casella delle decine prendiamo un centinaio a prestito, ed abbiamo 10+b-b-1=9; nella casella delle centinaia abbiamo a-c-1=-1; il numero completo è (-1)(9)(10), che sommato al suo rovescio dà (-1+10)(9+9)(10-1)=(9)(18)(9), che produce nuovamente 1089. Naturalmente abbiamo fatto operazioni non lecite, utilizzando cifre superiori al 9 e negative, ma… sembrerebbero corrette.

Con i numeri di 4 cifre, ci sono cinque risultati possibili.
I numeri del tipo aaaa oppure abba (cioè palindromi) danno 100 volte il risultato 0.
I numeri del tipo abca (con b, c che possono coincidere con a, ma b diverso da c) danno 900 volte il risultato 990.
I numeri del tipo abcd (con d diverso da a, c diverso da b, e se a è maggiore di d allora c è maggiore di b) danno 4050 volte il risultato 9999.
I numeri del tipo abcd (con d diverso da a, c diverso da b, e se a è maggiore di d allora b è maggiore di c) danno 4050 volte il risultato 10890.
I numeri del tipo abbc (con a diverso da c) danno 900 volte il risultato 10989.

Con i numeri di 5 cifre… temo che la situazione sia ancora più ingarbugliata.

 

Altre soluzioni:

Partiamo da un esempio di 3 cifre:

841-148=693; 693+396=1089 ed è sempre così.

Genericamente, se chiamo le cifre di 841 con le lettere a,b,c posso esprimere un qualsiasi numero di 3 cifre come 100a+10b+c.
Quindi la prima operazione diventa 100a+10+b+c-(100c+10b+a) = 99a-99c = 99(a-c).

Visto che a e c sono numeri interi, anche |a-c| è un numero intero e il risultato della prima operazione è sempre un multiplo di 99.
693, come nell’esempio, è 99×7.

Se a=c il numero è palindromo e il gioco non funziona più, perché il risultato della prima operazione è 0.

Dovrei a questo punto sommare a 99|a-c| un numero con le sue stesse cifre, ma scritte nel senso inverso. Mi serve una funzione che chamerei “invertitore di cifre” :)
Mi aspetto infine di trovare un espressione dove a,b e c si elidono fra loro lasciando in evidenza solamente la “costante” 1089.

Nel caso di numeri con 3 cifre però il risultato della prima operazione è 99|a-c| con a e c interi di una cifra e non ci sono tanto casi possibili. Li posso calcolare tutti:

99×1=099 099+990=1089
99×2=198 198+891=1089
99×3=297 297+792=1089
99×4=396 396+963=1089
99×5=495 495+594=1089
….
da qui in avanti e fino a 9 le somme sono come sopra, con l’ordine opposto degli addendi. Si vede che in tutti i casi possibili il risultato è sempre uguale a 1089.

 

L’ottimo Renato ci ha inviato una variante del finale di questa soluzione, che qui riporto, aggiungendo qualche passaggio:

assumendo a>c e a,c cifre, l’espressione 99(a-c) è equivalente a:

99a-99c+100-100+a-a+c-c

Decido a questo punto di sommare e sottrarre arbitrariamente 100+a+c. Questo è un passaggio “laterale” del gioco, un lampo di genio, che nei passaggi successivi evidenzia:

100a-100c-100+100-a+c=
=100(a-c-1)+90+10-a+c=
=100(a-c-1)+10*9+1*(10-a+c)

Poiché (a-c-1), 9 e (10-a+c) sono tutti numeri di una cifra (essendo a>c), l’espressione trovata indica sempre un numero di tre cifre, la cui cifra centrale è sempre 9.

Quindi sommare questo numero con se stesso a cifre invertite significa fare:

100(a-c-1)+10*9+1*(10-a+c) + 100(10-a+c)+10*9+1*(a-c+1) =
=100a-100c-100+90+10-a+c+1000-100a+100c+90+a-c-1=
=1000+90-1=1089

E’ proprio l’espressione che “sognavo”: dove tutte le a e le c si annullano e rimane solo il magico 1089 :)

 

Un ringraziamento speciale anche a Povero Diavolo e Akra111 per i contributi inviati.

Paul

5 pensieri su “Il totale fisso

  1. Io ci sto pensando e sto procedendo con un approccio che parte bene, ma dopo un po’ si blocca.

    partiamo da un esempio:
    841-148=693
    693+396=1089 ed è sempre così.

    Genericamente, se chiamo le cifre di 841 con le lettere a,b,c posso esprimere un numero di 3 cifre come 100a+10b+c.

    Quindi la prima operazione diventa 100a+10+b+c-(100c+10b+a) = 99a-99c = 99(a-c).
    visto che a e c sono numeri interi, anche |a-c| è un numero intero e il risultato della prima operazione è sempre un multiplo di 99. Se a=c il risultato è 0 e il gioco non funziona più. Quindi certamente il numero di partenza non può essere palindromo (111, 323, 737, ecc)

    693, come nell’esempio, è 99×7.

    Dovrei a questo punto sommare a 99|a-c| un numero con le sue stesse cifre, ma scritte nel senso inverso. Mi serve una funzione che chamerei “invertitore di cifre” :)
    Mi aspetto infine di trovare un espressione dove a,b e c si elidono fra loro lasciando in evidenza solamente la “costante” 1089, ma come fare? Ci sto ancora pensando…

    • Assumendo a>c, (a-c)*99 = (a-c-1)*100+100+(c-a)=(a-c-1)*100+9*10+(10+c-a)*1, per cui le cifre del risultato della prima sottrazione sono a-c-1, 9, 10+c-a. Invertendo e sommando poi ci sono le elisioni e la somma diventa “magicamente” 1089.

    • Per i numeri di 3 cifre potresti anche fare tutti i casi possibili:

      99×1=099 099+990=1089
      99×2=198 198+891=1089
      99×3=297 297+792=1089
      99×4=396 396+693=1089
      99×5=495 495+594=1089
      ….
      Si può continuare fino a 9 e cambia solo l’ordine degli addendi.

  2. Soluzione.
    Ho letto i vostri commenti, e propongo la mia soluzione, come l’avevo preparata al momento di inserire il problema.
    Prendo un numero di tre cifre abc (ammettiamo che a sia maggiore di c), e facciamo abc-cba. Siccome a è maggiore di c, nella colonna delle unità devo prendere una decina a prestito, così ottengo (10+c-a); nella casella delle decine ho da fare il calcolo b-b-1 (avendo preso una decina per la colonna delle unità) ed ottengo –1, e allora devo prendere un centinaio a prestito, ed ottengo 10-1=9; nella casella delle centinaia ottengo a-c-1 (avendo preso un centinaio per la colonna delle decine). Ho allora il numero (a-c-1)(9)(10+c-a). Se lo sommo al suo rovescio, ottengo (a-c-1+10+c-a)(9+9)(a-c-1+10+c-a)=(9)(18)(9)=1089. Spero si capisca il mio modo di indicare le cifre separatamente, parentesi per parentesi.
    Quindi funziona sempre, a patto che a sia diverso da c: in tal caso la differenza subito ci dà 000, che somma al suo rovescio dà 000. Ma vediamo come si può ottenere anche in questo caso 1089. Faremo un errore, cioè non ci accorgeremo che a=c. In tal caso calcoliamo abc-cba. Nella casella delle unità prendiamo una decina a prestito, ed abbiamo 10+c-a=10; nella casella delle decine prendiamo un centinaio a prestito, ed abbiamo 10+b-b-1=9; nella casella delle centinaia abbiamo a-c-1=-1; il numero completo è (-1)(9)(10), che sommato al suo rovescio dà (-1+10)(9+9)(10-1)=(9)(18)(9), che produce nuovamente 1089. Naturalmente abbiamo fatto operazioni non lecite, utilizzando cifre superiori al 9 e negative, ma… sembrerebbero corrette.

    Con i numeri di 4 cifre, ci sono cinque risultati possibili.
    I numeri del tipo aaaa oppure abba (cioè palindromi) danno 100 volte il risultato 0.
    I numeri del tipo abca (con b, c che possono coincidere con a, ma b diverso da c) danno 900 volte il risultato 990.
    I numeri del tipo abcd (con d diverso da a, c diverso da b, e se a è maggiore di d allora c è maggiore di b) danno 4050 volte il risultato 9999.
    I numeri del tipo abcd (con d diverso da a, c diverso da b, e se a è maggiore di d allora b è maggiore di c) danno 4050 volte il risultato 10890.
    I numeri del tipo abbc (con a diverso da c) danno 900 volte il risultato 10989.

    Con i numeri di 5 cifre… temo che la situazione sia ancora più ingarbugliata.

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