Il numero autoreferente

Questo è un problema conosciuto a qualche appassionato di giochi matematici, ma mi permetto di presentarlo, in quanto ho cercato di ingrandire il problema. Alcuni dei problemi non hanno soluzione, e altri sì. A parte la soluzione, penso sia interessante il procedimento seguito per trovarla.

Devo scrivere un numero di 10 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla decima cifra, che indica il numero di 9 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 9 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla nona cifra, che indica il numero di 8 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 8 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino all’ottava cifra, che indica il numero di 7 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 7 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla settima cifra, che indica il numero di 6 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 6 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla sesta cifra, che indica il numero di 5 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 5 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla quinta cifra, che indica il numero di 4 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 4 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e la quarta cifra il numero di 3 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 3 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, e la terza cifra il numero di 2 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 2 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero e la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 1 cifra, in modo che questa cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero. E’ possibile farlo?

Soluzione di Giorgio Dendi:

Numero di 10 cifre

Intanto la somma di tutte le cifre sarà 10, poiché 10 è il numero totale di 0,1,2…9 che compaiono nel numero. Provo a scrivere un qualunque numero di 10 cifre, con somma delle cifre uguale a 10, e gli applico la regola, cioè scrivo quanti esemplari di ogni cifra compaiono.

Per esempio, ho scelto 1122500000, che mi porta a 5220010000, poi a 6120010000, quindi 6210001000, che porta a se stesso, ed è perciò la soluzione cercata.

Ho provato a partire con un altro numero, e ho visto che 2260000000 mi fa proseguire con 7020001000, 7110000100, 6300000100, 7101001000, e poi le ultime due combinazioni si ripetono all’infinito alternandosi tra loro.

Tutti gli altri numeri mi portano a questi unici due casi, quindi l’unica soluzione è 6210001000.

Ho provato a vedere se altri numeri di 10 cifre, anche senza che la somma delle cifre sia 10, mi conducono comunque a 6210001000, e ho visto che il più alto numero che lo fa è 9999988876. Non esistono numeri che ci mettono parecchio a raggiungere la stabilità: dopo poche mosse si sa già la soluzione.

Numero con 9 cifre

Ho provato a partire con il numero trovato nel caso precedente, al quale ho troncato lo zero finale (anche se la somma non quadra, volevo vedere come fa a finire). Quindi 621000100 mi porta a 521000100, poi a 521001000, che è la soluzione cercata.

Non ci sono altre soluzioni. Si possono fare le considerazioni analoghe a quelle del caso con 10 cifre, cioè ci sono oscillazioni fra 530000100 e 610101000.

Numero con 8 cifre

Stesso modo di agire di sopra, e 52100100 mi porta a 42100100, poi a 42101000, che è la soluzione cercata.

Numero con 7 cifre

Partendo con 4210100, ottengo 3210100, poi 3211000, che è la soluzione cercata.

Numero di 6 cifre

Non c’è alcuna soluzione.

Numero di 5 cifre

Tutte le combinazioni di partenza mi danno sempre 21200 (anche partendo ad esempio da 75450, ottengo 10001, poi 32000, 30110, 22010 ed infine 21200).

Numero di 4 cifre

Partendo da qualunque combinazione ottengo sempre 1210 oppure 2020.

Numero di 3 cifre

Non ci sono soluzioni, e partendo da qualunque combinazione, si oscilla poi sempre fra 030, 200, 201, 111.

Numero di 2 cifre

Non ci sono soluzioni, e si oscilla sempre fra 02, 10, 11.

Numero di 1 cifra

Non ci sono soluzioni, e si oscilla sempre fra 0, 1.

Questa situazione, che ci sono numeri come il 6210001000 che generano se stessi, e altri come il 6300000100 che generano altri numeri, che però riportano nuovamente alla situazione iniziale, mi ha richiamato alla mente il “Gioco della vita”, creato dal matematico John Horton Conway, con caselle che sono piene o vuote, e certe combinazioni sono statiche (come il 6210001000), mentre altre portano alla situazione di partenza solo dopo un certo numero di mosse (come il 6300000100).

2 pensieri su “Il numero autoreferente

  1. Stabilito quando e’ possibile trovare soluzioni e se ci sono numeri autoreferenti, mi viene da pensare se ci sono cifre autoreferenti: quante sono? E ci sono anche cifre antireferenti?

    • Le cifre autoreferenti non esistono. Se scrivo 0 c’è uno zero. Se scrivo 1 non c’è uno zero. Dal testo del problema, la prima cifra (in questo caso l’unica) indica il numero di 0 presenti.
      Ma se scrivo una cifra fra 0 e 9 o c’è uno zero oppure non ci sono affatto zeri.
      Per esempio, se scrivo 4 c’è un solo 4, non quattro zeri. Spero di esser stato chiaro.

      Questi i numeri autoreferenti che ho trovato:
      1210: C’è uno 0, due 1, un 2, zero 3
      2020: ci sono due 0, zero 1, due 2, zero 3.

      E poi ci sto pensando…

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