Il numero autoreferente

Questo è un problema conosciuto a qualche appassionato di giochi matematici, ma mi permetto di presentarlo, in quanto ho cercato di ingrandire il problema. Alcuni dei problemi non hanno soluzione, e altri sì. A parte la soluzione, penso sia interessante il procedimento seguito per trovarla.

Devo scrivere un numero di 10 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla decima cifra, che indica il numero di 9 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 9 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla nona cifra, che indica il numero di 8 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 8 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino all’ottava cifra, che indica il numero di 7 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 7 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla settima cifra, che indica il numero di 6 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 6 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla sesta cifra, che indica il numero di 5 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 5 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e così via, fino alla quinta cifra, che indica il numero di 4 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 4 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, la terza cifra il numero di 2 presenti, e la quarta cifra il numero di 3 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 3 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero, la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti, e la terza cifra il numero di 2 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 2 cifre, in modo che la prima cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero e la seconda cifra indichi il numero di 1 presenti. E’ possibile farlo?

Devo scrivere un numero di 1 cifra, in modo che questa cifra indichi il numero di 0 presenti nel numero. E’ possibile farlo?

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Un pagamento complicato

Monete

Devo pagare esattamente 5 euro, utilizzando monete da 2 euro, da 1 euro, da 50 centesimi, da 20 centesimi, e da 10 centesimi. Per esempio potrei utilizzare una moneta da 2, quattro da 0,50 e cinque da 0,20. Ma ci sono tanti altri modi per farlo. In quanti modi in tutto potrei pagare?

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Destra o sinistra?

Duemiladodici militari sono allineati, uno di fianco all’altro, e guardano verso il comandante, che sta di fronte a loro. Ad un certo punto viene dato l’ordine “front a destr”, e tutti devono girarsi di 90° a destra. Purtroppo nessuno sa quale sia la destra e quale la sinistra, ma ritengono tutti che gli altri lo sappiano. Quindi si girano da una parte qualunque, e impiegano un secondo per farlo. Se qualcuno di loro però dopo questa mossa vede di faccia un suo compagno, ritiene di aver sbagliato, e dopo un secondo si gira di nuovo. Può darsi che ancora qualche coppia di militari si veda di faccia, ed entrambi nuovamente, pensando di essere nel torto, si girano, dopo un altro secondo. Dopo quanto tempo al massimo staranno tutti fermi?

[expand title=”Come arrivare alla soluzione:“]

Userò per i soldati che guardano a destra o sinistra rispettivamente i simboli “>” o “<“.

Per paura di perdermi con numeri troppo alti e casi che non riesco a seguire, provo ad usare il metodo che porta il nome di un grande matematico nostro contemporaneo.

Ebbene, il metodo Dendi mi consiglia di studiare il caso banale, con 2 soldati. Delle 4 possibili posizioni dopo un secondo, mi sembra utile solo ><, che porta a due secondi il tempo finale.

Analizziamo, come consiglia il metodo Dendi, il caso di tre soldati. Delle 2^3=8 possibili posizioni dopo un secondo, mi interessano solo >>< e ><<, che portano a tre secondi il tempo finale.

Se lo ritengo opportuno, faccio il caso con 4 soldati, tenendo presente che se tre consecutivi non si sistemano come visto sopra, non otterrò la soluzione migliore.

A questo punto posso dire che per n=0, 1, 2, 3… soldati, ci vorranno n secondi al massimo per ottenere la stabilità della posizione.

© Giorgio Dendi – Servizi all’umanità

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[expand title=”Un’altra strada:“]

Non è chiaro? Vediamo un’altra strada per arrivare alla soluzione, partendo direttamente con 2012 soldati:

Potrebbe succedere che, per coincidenza, tutti i soldati si girino dallo stesso lato. Ciascuno vede l’altro di spalle (oppure nessuno, se è un soldato all’estremità) e dopo 1 secondo sono tutti fermi:

<<<<<…<<< oppure >>>>…>>>>

Se un soldato di estremità si gira per guardare il vuoto e tutti gli altri soldati sono girati allo stesso modo fra loro, anche in questo caso il movimento si ferma dopo un secondo.

>>>>>…>>>>> oppure <<<<<<…<<<> (soluzioni simmetriche)

Poniamo adesso che ci sia 1 solo soldato girato diversamente da tutti gli altri. Se questo soldato è in posizione n.1, avrà davanti a sé tutti i soldati che lo guardano. Lui a quel punto si girerà, ed essendo in estremità continuerà a fissare il vuoto. Contemporaneamente il soldato n.2 vedendolo si girerà, e si troverà di fronte al soldato n.3, il quale si girerà, e così via finché non saranno tutti girati.

Il gruppo “><” diventa sempre un gruppo “<>” in 1 secondo

><<<<<<….<<<<   1s
<><<<<<….<<<<   2s
<<><<<<….<<<<   3s
….
<<<<<<<….<<<>   2012s

Quindi se il soldato è in posizione 1 e guarda tutti gli altri, in sequenza inizierà un processo di “aggiustamento” e tutti saranno fermi dopo 2012 secondi. Questo è il caso peggiore di tutti: i soldati non possono impiegare più tempo di così.

© Paolo Pizzorni

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La torta

Nel frigo della famiglia Golosi c’è una bella torta. Di notte papà, mamma e Pierino si alzano, e ognuno mangia un terzo di quello che c’è in frigo, e precisamente: papà mangia un terzo di tutta la torta, poi mamma un terzo di quello che è rimasto, poi Pierino un terzo di quello che è rimasto, poi di nuovo papà, e così via a rotazione per tutta la notte, per moltissime volte. Alla fine che parte di torta ha mangiato ciascuno dei tre?

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Quanto vale questo numero?

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...

Il denominatore di ogni nuovo addendo raddoppia, fino all’infinito.

[expand title=”La strada verso la soluzione:“]

In matematica, quando non sappiamo quanto vale una certa entità incognita, è utile chiamarla con un nome, per esempio x.

x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...

Cosa succede adesso moltiplicando ambo i membri per un fattore comune, diciamo, per 2?

2x=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...

Da cui si nota che

2x=2+x

Equazione di primo grado a un’incognita, da cui si ricava

x=2

[/expand]

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