Buon 2013

Buon 2013

Sono andato in soffitta, ed ho trovato in uno scatolone una strana calcolatrice costruita da mio nonno, che era un tipo abbastanza bizzarro.
Questa calcolatrice aveva come valore impostato all’accensione 1 (invece del classico 0), e poi c’erano due soli tasti: il primo tasto moltiplica per 2 il valore che appariva sul visore, mentre il secondo tasto toglieva 1.
Per ottenere 2013, allora ho pensato che la cosa meno laboriosa fosse premere x2 x2 x2 x2 x2 x2 –1 x2 x2 x2 x2 –1 x2 –1.
Infatti riportando tra parentesi i parziali, si ottiene (1) x2 (2) x2 (4) x2 (8) x2 (16) x2 (32) x2 (64) –1 (63) x2 (126) x2 (252) x2 (504) x2 (1008) –1 (1007) x2 (2014) –1 (2013).
Ho premuto quindi 14 tasti (11 volte il x2, 3 volte il –1).
Mi sono accorto poi che nello scatolone ci sono delle altre calcolatrici, simili a questa, nel senso che il valore impostato all’accensione è sempre 1, e dei due tasti, uno moltiplica sempre per 2, mentre il secondo tasto in una calcolatrice fa –2, in un’altra –3, in un’altra ancora –4, fino all’ultima, dove fa –9.
Quale di queste calcolatrici mi converrà usare, e come, per ottenere 2013 con meno calcoli possibili?

Frugando avanti (sono giorni di vacanza e quindi ho abbastanza tempo libero) ho trovato degli altri scatoloni, e in ogni scatolone altre calcolatrici simile a queste, solo che in uno scatolone c’erano quelle che moltiplicavano per 3 (e poi una che faceva –1, una che faceva –2,…), in un altro quelle che moltiplicavano per 4… fino a quelle che moltiplicavano per 9.
Quale di queste calcolatrici mi permette di ottenere 2013 con meno calcoli possibili?
Buon 2013!

4 commenti su “Buon 2013”

  1. Parte prima: conviene la calcolatrice con (*2) e (-7). Infatti:
    (1) x2 (2) x2 (4) x2 (8) x2 (16) x2 (32) x2 (64) x2 (128) x2 (256) x2 (512) -7 (505) *2 (1010) x2 (2020) –7 (2013). In totale 13 movimenti. Si tratta anche del minimo, in quanto 2013 è dispari, quindi un movimento di sottrazione finale è indispensabile, e poi non vi è nessuna potenza di 2 compresa tra 2013 e 2022, quindi serve almeno un altro “aggiustamento” in corso d’opera; va da sè che servono almeno 11 movimenti di moltiplicazione per 2, dato che con 10 si arriva al massimo a 2^10=1024: pertanto servono almeno 11+2=13 movimenti.

  2. Ok, la miglior calcolatrice del primo scatolone è, come avete trovato anche voi, quella che sottrae 7.
    Vediamo come si può ragionare per trovare questa risposta. La calcolatrice che sottrae 1 necessita di 14 tasti: 11 volte il x2 e tre volte il –1. Infatti se premessimo solo 14 volte il x2, otterremo 2048. Ma a noi occorre 2013, cioè 35 di meno. E –35 con potenze di due si può ottenere facendo –32 –2 –1, che ci obbliga a posizionare nei punti esatti tre volte il tasto –1: dopo l’ultima moltiplicazione, per ottenere –1; dopo la penultima moltiplicazione, per ottenere –2 nel totale; alcune posizioni prima, in modo che nel totale finale venga fuori –32.
    Se vogliamo usare meno tasti, dobbiamo ottenere –35 con soli due tasti, e siccome –35 è multiplo soltanto di 5 e di 7, gli unici candidati possibili per usare due tasti soltanto sono proprio 5 e 7.
    E siccome 35 = 7 + 7×4, basta posizionare un –7 dopo l’ultima moltiplicazione, e uno dopo la terzultima.

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